Ελληνικοί αριθμοί και αριθμητική - Ιονικό σύστημα αρίθμησης.

Το (Ιονικό) ελληνικό σύστημα της απαρίθμησης ήταν δεκαδικό. Το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό γνώρισμά του είναι ότι ήταν αλφαβητικό και απαίτησε τη χρήση περισσότερων από 27 διαφορετικών συμβόλων για τους αριθμούς και μερικά άλλα σύμβολα.

Ελληνική απαρίθμηση και βασικός σχηματισμός αριθμού:

Κατ' αρχάς, σημειώνουμε ότι τα σύμβολα των αριθμών ήταν τα ίδια με τα γράμματα του ελληνικού αλφάβητου.

ΣΥΜΒΟΛΟ	ΤΙΜΗ	ΣΥΜΒΟΛΟ	ΤΙΜΗ	ΣΥΜΒΟΛΟ	ΤΙΜΗ
α	1	ι	10	ρ	100
β	2	κ	20	σ	200
γ	3	λ	30	τ	300
δ	4	μ	40	υ	400
ε	5	ν	50	φ	500
Ϛ	6	ξ	60	χ	600
ς	7	ο	70	ψ	700
η	8	π	80	ω	800
θ	9	Ϟ	90	Ϡ	900

όπου χρησιμοποιούνται τρεις πρόσθετοι χαρακτήρες, Ϛ , ή Ϝ , (δίγαμμα), Ϟ , (κόππα), και Ϡ , (σαμπί). Ως εκ τούτου:   

Μεγάλοι αριθμοί

Μεγαλύτεροι αριθμοί χρησιμοποιούντο επίσης. Οι χιλιάδες, 1000 έως 9000, αντιπροσωπεύθηκαν από την τοποθέτηση της αποστρόφου «΄». Ως εκ τούτου:

Το γράμμα Μ χρησιμοποιήθηκε για να αντιπροσωπεύσει τους αριθμούς από 10.000 επάνω. Κατά συνέπεια:

Μ^ε  = 50.000   Μ^ακσπζ = 120.287

Εναλλακτικά χρησιμοποιήθηκε :

Με = 50.000  Μακ ^. σπζ = 120.287

Όπως είναι εμφανές αυτό το σύστημα δεν επιτρέπει να εκφραστούν οι πολύ μεγάλοι αριθμοί. Ο Αρχιμήδης επέκτεινε το σύστημα στο βιβλίο του η Ψαμμίτης όπου υπολόγισε τον αριθμό των κόκκων της άμμου που χρειάζονται για να γεμίσει τον διάστημα.

Κλάσματα

Οι Έλληνες χρησιμοποίησαν τα κλάσματα. Η σημείωσή τους, εντούτοις, ήταν διφορούμενη και αυτό ήταν κρίσιμο για τη σωστή ανάγνωση. Ένα διακριτικό σημάδι τοποθετήθηκε μετά από τον παρονομαστή του μέρους (μονάδων). Έτσι,

και
αλλά το τελευταίο παράδειγμα θα μπορούσε επίσης να σημάνει .

Πιο σύνθετα κλάσματα μπορούσαν επίσης να γραφτούν. Ο αριθμητής γράφεται με μία άνω μπάρα και ο παρονομαστής με διακριτικό σημάδι. Κατά συνέπεια:

Πολυάριθμες μορφές επίσης έχουν χρησιμοποιηθεί, με αυξανόμενη εκλέπτυνση με τη πάροδο του χρόνου. Ο Διόφαντος χρησιμοποιεί μια κλασματική μορφή ίδια με τη δική μας αλλά με τον αριθμητή και τον παρονομαστή σε αντίθετες θέσεις.

Υπολογισμοί
Οι αριθμητικές πράξεις είναι σύνθετες δεδομένου ότι χρησιμοποιούνται τόσα πολλά σύμβολα. Ο πολλαπλασιασμός πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας το επιμεριστικό νόμο. Παραδείγματος χάριν:

Εντυπωσιακὀ, η διαίρεση πραγματοποιείτο ουσιαστικά τον ίδιο τρόπο όπως τη κάνουμε σήμερα.
Προφορική αρίθμηση
Αναλυτικά:

Ο Αρχιμήδης συνεχίσε την αρίθμηση με το σύστημά του, που φθάνει στον ακόλουθο αριθμό (στη σύγχρονη γραφή): 10^{80.000.000.000.000.000}, ή 1 που ακολουθείται 80 τετράκης εκατομήρια μηδέν, ένας αριθμός που στο σύστημα των σύγχρονων ελληνικών θα καλούταν εκατό εικοσιεξάκις χιλιάκις εκατομμυριάκις εκατομμυριάκις εκατομμύρια. 

Δείτε Αρχιμήδης «Ψαμμίτης».
 http://grmath.blogspot.gr